/~vitas/txt/pro-netere/matematika-pravda.html
Motto: Každý vědec tvrdí o tom svém oboru, že jeho je ten jediný pořádný důležitý. Fyzici se od nich liší tím, že mají pravdu.
Tohle je zamyšlení pro mé milé avšak humanitně (jak jinak, ale slušně říci nematematicky?) založené neteře. Spíše než pokus o převrácení na pravou víru exaktního přístupu, jde o pozvánku k nahlédnutí na druhou stranu barikády. Pokud si někdo něco odnese tím lépe.
Takto první esej se zabívá vztahy mezi matematikou Pravdou. Pravdou (s velmým písmenkem) myslím The Pravdu, platonovskou ideovou Pravdu. Do nějake bližší specifikace (neřku-li definice) toho pojmu bych se nerad pouštěl, mohl bych se do toho zaplést a stejně by to nepřineslo nic užitečného. Pro dnešek bude stačit, když si pod tím představíš přesně to co si pod tím představuješ.
Snad každý se zamýšlel nad tím co je to pravda. Nebo alespoň nad tím, zda je pravdivé nějaké konkretní tvrzení. Mít alespoň nějakou jistotu, něco, co mohu vědět. Něco co je Pravda. Ale jen to vědět a řikat tomu, že je člověkovi nestačí, musí to mít nějak zdůvodněné. A čím skálopěvněji a přesvědčivěji je něco zdůvodněné tím blíže to pravdě je.
Věta ,,Sníh je bílý, jestliže sníh je bílý``, je krásný příklad pravdivého tvrzení, ale možná se budeme cítit trošku ošizení. Toto tvrzení nám toho moc neříká. Z předpokladu zcela přímo bez okolků vyplývá důsledek. Nuda.
Jako další příklad si vezmu následující (nyní již trošku matematické) tvrzení: Neexistuje největší sudé číslo. Ale to je přece zjevné, to každý vidí. Kdyby se tě někdo zeptal ,,proč?`` snadno i ty nějaké oduvodnění vymyslíš. Třeba... třeba sporem: kdyby existovalo, přičtu k němu 2 a dostanu zase sudé a k tomu větší číslo, takže to původní nebylo největší sudé. QED (což bylo dokázati).
Brilantní zdůvodnění. Já bych chtěl, abys sis všimla, že toto zdůvodní staví na dvou tvrzeních: Tvrzení A: přičtením 2 k sudému číslu dostaneme sudé číslo. Tvrzení B: přičtením 2 k číslu dostaneme číslo větší.
Pedant puntičkář by po nás chtěl abychom mu zdůvodnili i Tvrzení A a Tvrzení B. Při důkazu bychom zřemě použili nějaké další tvrzení Tvrzení C a Tvrzení D a určitě spoustu dalších. Puntičkář by si na nás smlsl. Místo abychom mu větu dokázali, počet nejasnostní by rostl.
Ven z toho můžeme, jenom tak, že někde řekneme: konec tím končím, tohle je tak triviální, že tohle dokazovat nebudu. Ano, křičíš správně: těmto tvrzením říkáme axiomy. Axiomy jsou tvrzení, která se nedokazují. Na jejich základě se pak dokazují všechny tvrzení a nové pojmy se definují na zakladě pojmů v axiomech použítých. Celá matematika stojí na těchto pilířích.
Odbočka: samozřejmě, že v zájmu krásy se snažíme, abychom axiomy vybrali co možná nejjednodušší a také, aby jich bylo co nejméně. Co nejvíce tvrzení chceme mít dokazatelných.
Logická otázka a námitka zní: a co když tyto vybrané axiomy neplatí, pak celá matematika padá? Jak si můžeme být jistí, že axiomy platí?
Při odpovědi je nutné se na věc podívat z opačné strany. K axiomům jsme se dostali tak nějak zhora dolů: při důkazu složité věty jsme používali jednodušší a jednodušší tvrzení, až jsme se najednou zastavili (a řekli dost!) tohle jsou axiomy.
Při zpětné výstavbě matematiky pak postupujeme naopak: máme před sebou nějakou kupu axiomů a budeme koukat, co z platnosti těchto axiomů plyne.
Destruktivní otazka ,,Co se stane, když axiom neplatí?`` se při tomto obraceném pohledu stane rázem velice konstruktivní: Jak se změní svět pokud v něm po něm nebudu vyžadovat, aby v něm platil (například) pátý axiom? Budou v tomto světě platit jiná tvrzení? Která tvrzení zůstanou tímto axiomem nedotčena? Co když přidám další axiom? Je možný svět, když místo jednoho axiomu vezmu jeho pravý opak (negaci)?
Ja vídíš místo toho, abychom matematikovi radost zkazili ještě mu ji přidáme.
Původní ukazkové tvrzení "neexistuje největší sudé číslo" bychom měli přeformulovat na "neexistuje největší sudé číslo, jesltiže použijeme standardní sadu aximů". Všimni si, prosím, podobnosti s větou o bílem sněhu. Vlastně všechny tvrzení v matematice jsou tohoto typu: ,,Platí TVRZENÍ, jestliže platí všecho co k dokázání TVRZENÍ potřebujeme.``
Možna je to trochu zklámání při hledání Pravdy. Matematika říká sice čistou a čirou Pravdu, ale jen takovou... takovou... jasnou, skoro zřejmou, takovou alibistickou. Jen takovou, která musí platit. Jen takovou mizrenou třísku. Když si Pravdu představím jako krychli, matematika v mé představě je jen její podstava.
Na druhou stranu je hřejivé vědět, že to co matematika zděluje Pravda je.
S axiomy to jako když rozebereme hrad kamen po kameni, a řekneme si: na techto pěti kamenech by ten hrad mohl stát. Odstraníme všechno ostatní necháme pouze pět kamenů, a znovu hrad kamen po kaměni složíme.
Pokud byla naše volba dobrá, hrad stojí. Může se stát, že jsme nějaký důležitý kámen opoměli, pak asi část hradu spadne, (i když je ještě je možné, že část zůstane stát).
Naopak třeba přidání zcelá nevhodného i když na první pohled kamene, může zcela znemožnit stavbu hradní věže.
Předchozí pasáže musí být velmi těžké číst pokud člověk neví o čem je řeč. Proto se pokusím zde uvést dva pidi axiomatické systémy, který může každý popisovat jiný svět. Možná ti začne připadat, čtění nezaživné. Pokdu ano, přeskoč na odstavec Závěr o axiomech, a zbytek si nech dlouhé letní rána.
Představ si přirozená čísla s nulou, a operací Následník(X), která k číslu X přičte jedničku. Můžeme napsat dva axiomy v tomto světě platí:
Z těchto axiomů se moc smysluplných tvrzení vydolovat nedá, ale přeci jen:
T1: existuje Naslednik(Naslední(Nuly)), který není Nula (pokud platí A1 a A2).
Důkaz je snadný dvakrát použijeme A2 a jednou A1, podrobnější rozbor nechám na laskavé čtenářce.
Snadno však nahlédneš, že přirozená čísla s nulou, nejsou jediným světem, kde A1 a A2 platí. Také platí množiny přirozených polovin a nuly, tedy 0, 0.5, 1, 1.5, .... Všimni si, že stačí ověřit zda v tom světě platí A1, A2 a zadarmo máš T1 (to proto, že T1 je dokazáno na základě T1 a ne).
Když ještě zůstaneme toho, že Nula je 0, a Následník(x) = x+1. Všimni si, že tyto axiomy se nehodí pro svět celých čísel Proč? Protože neplatí A1: Následník(-1)= 0. Ze stejného důvodu se nám nehodí nekladná celá čísla.
Další příklady světů, kde platí A1 a A2: Nezaporná Realná čísla, Nezáporná racionální. Ale i různé jejich podmnožiny, jistě bys sama přišla na nepočítaně dalších příkladů.
Další svět ve kterém naše axiomy platí bych nazval ,,jeden a půl kolejnice``: Představme si, že bychom měli nezáporná realná čísla (půl kolejnice) a ještě jedny Reálné čísla s čárkou (celá kolejnice). Celá kolejnice je s čárkou proto, aby se nám její nezaporná čísla nepletla s čísly půlkolejnice. Tento svět obsahuje čísla jako 0, 0', pi, -pi', 112, 4', -4' pod. Ale pozor -4 není z tohoto světa, protože v neočárkované půlkolejnici jsou pouze nezáporná čísla. Ale pozor2: 1 není 1' (každé číslo je na jiné kolejnici). Pokud máš predstavu toho světa můžeme jít dál, jinak si to raději přečti znova a zkus to podchopit.
V tomto světě můžeme označit 0 (neočárkovaná nula) jako Nulu, a Následník bude definován opět s jako přičtení jedničky (u očárkovaných čísel bude výsledek opět očárkovaný, např Následník(11')=12'). Pak jsou oba axiomy A1 i A2 splněny a jeden a půl kolejnice je světem těchto axiomů. Vůbec nevadí, že Následník(-1') je 0' (nula s čárkou), protže 0' nemá žádný specialní význam a v axiomech se o ní vůbec nemluví. Číslo 0' je v tomto světě řadový prvek jako třeba 112.
Co kdybychom chtěli takovou podivnou věc: napasovat kladná celá na naše dva axiomy. Hned na první pohled narazíme na problém: axiomy hovoří o Nule, ale kladná celá číslo 0 neobsahují. Ale existuje takový prvek, který má vlastnosti, které axiomy vyžadují? Ano! Je to číslo 1. V kladných celých je to jediné číslo, které není Následníkem, žádného jiného. Pokud Nula bude označovat 1, jsou kladná celá (s Nulou a Nasledníkem jak jsme si řekli) světem ve kterém platí A1 a A2.
Šlo by něco podobného udělat pro nekladná čísla? Ty číslo nula obsahují, májí však problém s oběma axiomy: né každé číslo má Následníka (0 nemá), a existuje číslo jehož následník je nula (Následník(-1)=0). Způsob jak svět ,,spravit`` je pojmout jiným způsobem Následníka. Například tím, že otočíme ,,následnictví`` na druhou stranu. Nasledník(x) = x - 1. Když se nad tím zamyslíš, už není problém ani s jedním axiomem.
Takto bych mohl při hledání světů ve kterých jsou splněny axiomy A1 a A2 pokračovat hodně dlouho, ale tím bych tě spíš odradil. A to jsem se snažil si vybrat nějaké ilustrační jednoduché axomy, aby byly co nejpochopitelnější.
Na těchto příkladech jsem chtěl, abys uviděla: axomy nějak moc nespecifikují pojmy o kterých hovoří (množina prvků na které si hrajeme, Nula, Následník), pouze říkají jaké tyto pojmy mají vlastnosti. Pokud nějaký svět tyto vlastnosti splňuje za odměnu mu řeknou co ještě navíc v něm platí.
Hra pro matematika rozbíhá těmito třemi směry:
V hodně vědách v platí, že příjde člověk (nebo skupina) a svými revolučními nápady a objevy zboří ve svém oboru téměř vše co v něm do té doby platilo. Kupříklad Darwin v biologii, Newton a po něm Einstein ve fyzice Mendělejev v chemii a tak dále. A zřejmě přijde někdo i po těchto velikánech a zboří to co postavili oni.
Zdá se, že tohle potkává i matematiku: několik desítek století byly Euclidovy Základy opravdovým zakladem geometrie, pak přišel Lobačevskýj (a potom i mnoho dalších) na možnosti neeuclidovských geometrií. Ale jestli si pochopila tuto moji překážku, určitě vidíš ten rozdíl: Lobačevskýj nevyvrátil žádné Euclidovy věty, pouze se snažil najít svět, ve kterém jeden (pátý) Euclidův axiom neplatí, a to se mu povedlo.
Matematikové neškrtají stránky svých předchůdců, pouze dopisují nové kapitoly. (To někdo řekl, já jsem to nebyl, ale je to hezké).
Pro doplnění odseku o Axiomech uvádím důlaz tvrzení T1:
T1: existuje Naslednik(Naslední(Nuly)), který není Nula (pokud platí A1 a A2).
Důkaz: Nejprve dokážeme, že Nasledník(Následník(Nula)) existuje: Následník(Nula) podle axiomu A2 existuje, označím si ho J (jedna), Následník(J) dle axiomu A2 také existuje, označím si ho D (dvě). D však je hledaný Následník(Následník(Nula)). Nyní stačí dokázat, že D není Nula, ale protože D je Následník(J) pak dle axiomu D nemůže být Nula.
QED.
/~vitas/txt/pro-netere/matematika-pravda.html